Меню

Акционерное общество выпускает печенье русские узоры

Критерий — Пирсона

Критерий применяют для проверки гипотезы о том, что случайная величинаподчинена закону распределения, по выборке,. По выборкестроят функцию распределения случайной величины.

Для этого область изменения значений случайной величины разбивают на интервалы,, и определяют частоту попадания значений случайной величины в каждый интервал, а также теоретическую вероятность. Затем вычисляют значение случайной величины

,

которая распределена по закону с степенями свободы.

При помощи таблиц находят границу критической области при уровне значимости. Если, то принимается решение о справедливости основной гипотезы, в противном случае принимается решение о справедливости альтернативы.

Задачи для самостоятельного решения

Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия — 2900 ч. Для выборки из 50 изделий средний срок безотказной работы оказался равным 2720 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5% -м уровне значимости проверить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.

Составлена случайная выборка из 64 покупателей, которые интересовались товаром А. Из них товар А купили 16 человек. Поставщик утверждает, что данный товар должен привлечь треть покупателей, а среднее квадратичное отклонение равно одному человеку. Проверить нулевую гипотезу при 5%-м уровне значимости.

Средний диаметр подшипников должен составлять 35 мм. Однако для выборки из 82 подшипников он составил 35,3 мм при выборочном среднем квадратичном отклонении 0,1мм. При 5%-м уровне значимости проверить гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники, не требует подналадки.

Поставщик удобрений утверждает, что применение новой партии удобрений обеспечивает урожайность пшеницы в 60 ц/га. Удобрения внесли на площади в 37 га и получили урожай 55 ц/га при выборочном среднем квадратичном отклонении 3 ц/га. При 5% -м уровне значимости оценить справедливость утверждения поставщика.

Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного магазина составляла 6 т при среднем квадратичном отклонении 0,05 т. Сегодня магазином было продано 7 т хлеба. Можно ли при 5%-м уровне значимости предполагать, что и завтра будет продано 7 т хлеба?

Фирма — изготовитель женских украшений, выпустив новый товар, утверждает, что 40% покупателей купят эти украшения. В ходе 10-дневной рекламной распродажи в среднем приобрели украшения 29,5% покупателей, выборочное среднее квадратичное отклонение составило 16,5% . При 5%-м уровне значимости оценить утверждение изготовителя товара.

Поставщик двигателей утверждает, что средний срок их службы равен 800 ч. Для выборки из 17 двигателей средний срок службы оказался равным 865 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 120 ч. Проверить нулевую гипотезу при уровне значимости: а) 5% ; б) 1% .

По результатам 10 замеров установлено, что среднее время обслуживания мастером клиента 15 мин.. Предполагая, что время обслуживания клиента — нормально распределенная случайная величина с дисперсией 9 мин 2 , при уровне значимости 0,05 установить, можно ли принять в качестве норматива (математического ожидания) для обслуживания одного клиента: а) 21 мин; б) 16 мин.

Читайте также:  Теплая кофта с коротким рукавом спицами

По паспортным данным на автомобильный двигатель, расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л при среднем квадратичном отклонении 2 л. В результате совершенствования конструкции ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем: средний расход топлива на 100 км пробега составил 9,2 л. Используя 5%-й уровень значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что модернизация повлияла на расход топлива.

Из большой партии ананасов одного размера случайным образом отобрано 36 штук. Выборочная средняя масса одной штуки при этом оказалась равной 930 г. Используя двусторонний критерий при , проверить гипотезу, что средняя масса одного ананаса (по утверждению поставщика) составляет 1 кг, если:

а) средне квадратическое отклонение известно и составляет 200 г;

б) средне квадратическое отклонение неизвестно, а выборочное составило 250 г.

Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, составил:

Источник

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного магазина составляла 6 т при среднем квадратичном отклонении 0,05 т. Сегодня магазином было продано 7 т хлеба. Можно ли при 5%-м уровне значимости предполагать, что и завтра будет продано 7 т хлеба?

Задача 2. Акционерное общество выпускает печенье «Русские узоры» в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г. Осуществлена выборка для оценки средней массы печенья в пачках, выпущенных московской и санкт-петербургской фабриками АО. Результаты выборок таковы (указана масса пачек печенья «Русские узоры»):

201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195,

196, 198, 199, 194, 203, 195, 202, 197

203, 207, 191, 193, 197, 201,

196, 192, 194, 195, 198, 196.

Предполагая, что случайная величина массы пачки печенья распределена по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями, и считая выборки независимыми, определить:

а) средние выборочные и «исправленные» средние квадратичные отклонения массы для каждой фабрики;

б) для значимо или нет различие между средними выборочными (если это различие имеется);

в) является ли величина 200 г математическим ожиданием массы при 5%-м уровне значимости?

Задача 3. Расход сырья на единицу продукции составил:

по старой технологии

по новой технологии

Предположив, что соответствующие случайные величины X и Y имеют нормальные распределения с математическими ожиданиями ax и ay и одинаковыми дисперсиями, проверить:

а) при уровне значимости 0,01 гипотезу при альтернативной;

б) при уровне значимости 0,05 гипотезу при альтернативной.

Задача 4. Компания, занимающаяся междугородными пассажирскими перевозками, решила закупить партию новых автобусов. Приобретение новых автобусов принесет компании существенную выгоду лишь в том случае, если расход топлива на 100 км трассы на новых автобусах не превысит 19,5 литра. Компания-продавец предоставила покупателю ав­тобус на 4 недели (24 рабочих дня) для проверки реального расхода топ­лива. Результаты ежедневных прогонов показали, что средний расход топлива на 100 км пути составил 19,925 литра при исправленном среднем квадратическом отклонении 1,6 л. Посоветуете ли Вы автотранспортной компании покупать новые автобусы? (Оцените гипотезу на уровне значи­мости ).

Читайте также:  Пальто спицами с выкройками

Задача 5. Дисперсия генеральной совокупности . Выборка 25 единиц из этой совокупности дала среднюю арифметическую, равную 17. Можем мы отклонить? при конкурирующей гипотезе ? Принять ?

Задача 6. Производители нового вида аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 минут. Случайная выборка 121 человека, страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина сни­мает головную боль за 28,6 минут при среднем квадратическом отклоне­нии 4,2 минуты. Проверьте на уровне значимости, справедли­вость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за 30 минут.

Задача 7. Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых оказа­лось 1075 часов. Предположим, что среднее крадратическое отклонение времени горения для генеральной совокупности известно и равно 100 час. Используя уровень значимости , проверьте гипотезу о том, что время горения ламп более 1000 часов.

Задача 8. Исходя из условия задачи 7, предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и ис­пользует выборочное среднее квадратическое отклонение, равное 100 час. Объем выборки n = 121.

Задача 9. Исходя из условия задачи 7, предположим, что инженеру по контролю качества неизвестна генеральная дисперсия, и он пользует­ся данными выборки только 25 ламп. Изменится ли ответ задачи? Объясните.

Задача 10. Длительное время автоматическая линия по фасовке пакетов с солью обеспечивала нормальное распределение веса фасуемых пакетов со средним весом 1000 граммов и стандартным отклонением грамма. Перед плановым профилактическим ремонтом для выяснения возможных нарушений в настройке линии была проведена выборка 36 пакетов, средний вес которых оказался равным 1003 граммам. Имеется ли какое-либо основание предполагать, что произошли сбои в настройке автоматической линии и наблюдается устойчивый перерасход сырья? Уровень значимости принять равным 0,01.

Задача 11. Пассажир самолета может взять с собой в салон ручную кладь, не превышающую 5 кг веса. Однако по наблюдениям сотрудников авиаком­паний, многие пассажиры, не желая тратить время на ожидание багажа в аэропорту прибытия, стремятся пронести весь свой багаж в салон самолета. Это невыгодно для компаний, так как багажные отсеки остаются пустыми, и миллионы рублей расходуются на перевозку «воздуха», кроме того, хранение багажа в салоне ведет к нарушению его балансировки, а значит, угрожает безопасности полета. Одна из авиакомпаний решила проверить вес багажа, проносимого в кабину самолета, но, прежде чем привлекать дополнительных служащих к контролю проверки багажа, провела исследование с целью про­верки обоснованности своих предположений. Случайным образом был прове­рен багаж 121 пассажира различных рейсов и выяснено, что средний вес их багажа составил 5,8 кг со стандартным отклонением кг. Является ли такое отклонение веса ручной клади случайным и, следовательно, допусти­мым, или имеет место тенденция лишнего веса? Проверьте гипотезу при уровне значимости, равном .

Читайте также:  Узор косы разные спицами схема

Задача 12. Транспортное пассажирское управление хочет убедиться в необходимости изменения частоты движения автобусов на определенных маршрутах: увеличить ее, уменьшить или оставить прежней. Установле­но, что если среднее число километров, проезжаемое каждым пассажи­ром на интересующих управление маршрутах за день равно 10, то необ­ходимости изменять частоту маршрута нет. Если же это число больше или меньше 10, то необходимо увеличить или уменьшить количество автобусов на маршрутах. Проверьте нуль-гипотезу о том, что среднее число километров, проезжаемых каждым пассажиром на интересующих управление маршрутах, равно 10 км при альтернативной гипотезе о том, что среднее их число не равно 10 км. Требуемый уровень значимости для проверки этой гипотезы принять .

Случайная выборка 121 жителя района, пользующегося данными маршрутами, показала, что среднее число километров, которое каждый из них проезжает в день, составляет 6,3 км с выборочным средним квадратическим отклонением 3,2 км. Посоветуйте, какие меры должно предпринять пассажирское управление? Объясните Ваши рекомендации.

Задача 13. Известно, что туристы, посещающие Санкт — Петербург, останавливаются в гостинице в среднем на 3,4 дня. Аналитик, занимаю­щийся проблемами туризма, хочет проверить, как события последних лет повлияли на эту цифру. Он случайно выбрал 27 дней, проведенных тури­стами в различных гостиницах Санкт — Петербурга, и получил следующие данные: 5, 4, 3, 2, 1, 1, 5, 7, 8, 4, 3, 2, 5, 7, 1, 3, 1, 1, 5, 3, 4, 2, 2, 2, 6, 1, 7. Проверьте гипотезу на уровне значимости о том, что события последних лет никак не отразились на посещаемости гостиниц туристами Санкт — Петербурга.

Задача 14. Ежедневная заработная плата в определенной отрасли есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, со средней 13,2 и . Если компания в этой отрасли нанимает 40 рабочих и платит им в среднем 12,2, может ли эта компания быть обвиненной в том, что она платит слишком низкую зарплату? Уровень значимости принять равным .

Задача 15. Сберегательный банк, находящийся в сельской местности в течение прошедшего года проводил в среднем ежедневно 300 трансакций. Случайная выборка за 20 дней в течение текущего года определила среднюю выборочную, равную 307,3 трансакции со стандартным отклонением в 24,9 трансакции. Используя уровень значимости , определите, отличается ли генеральная средняя по трансакциям за текущей год от значения средней предыдущего года.

Задача 16. Независимые выборки из двух нормально распределенных совокупностей с одинаковым средним квадратическим отклонением дали результаты, показанные в следующей таблице:

Источник